Смотри @media запросы тему адаптивной верстки. Чтобы поиск скрыть для экранов больше 600px, нужно написать, если блок с поиском с классом my_search, что-то типа такого:
@media only screen and (min-width: 600px) {
.my_search {
display: none;
}
}
И чтобы показывать этот поиск на экранах меньше 600px, можно написать примерно так;
@media only screen and (max-width: 600px) {
.my_search {
display: unset;
}
}
В первом случае скрывается свойством display:none поиск для экранов больше 600px, во втором случаете, когда экран меньше 600px показывается блок поиска. Это пример, могут быть и другие параметры, экраны и так далее, но думаю, что суть понятна как это делается.
Здесь про адаптивную верстку и media query есть в курсе HTML раздел:
/ru/courses/html-and-css/responsive-tag-viewport/